Causal Mediation Analysis（因果媒介分析）③：Empirical Analogueについて

前回はCausal Mediation Analysisにおいて、2-way / 3-way / 4-way decompositionについて解説してきました。

Causal Mediation Analysis（因果媒介分析）②：Decompositionについて前回はCausal Mediation Analysisの概念や記載方法、前提条件について記載してきました。  https://www...

表記はpotential outcomeのフレームワークで行ってきましたが、これでは現実世界で計算をすることができません。

そこで、今回は、実際に治療(X)、媒介因子（M）、アウトカム(Y)を使用して、どのように計算していくか、empirical analogueで解説していきましょう。

おすすめ書籍↓↓

Causal Mediation AnalysisのEmpirical Analogue

Causal Mediation Analysisをする場合ですが、大きく分けて

• Outcome regression
• G-method

の２パターンがあります。

今回は、まずg-methodの１つであるg-computation (g-formula またはstandardization)のフレームワークで考えていきましょう。
もちろんIPWでも、sequential g-estimationでも導き出すことができます。

Total Effectのg-formula

まず、total effectのg-formulaを記載してみましょう。

• Total Effect = E(Y_x) – E(Y_x*)

でした。まずE(Y_x)の部分にg-formulaを使ってみると、以下のようにempirical analogueが作れます。Cで全てのbackdoor-pathを閉じることができると仮定をすると

• E(Y_x)
• = Σ_cE(Y_x, c) *Law of probability
• = Σ_cE(Y_x|c) P(c) *Law of probability
• = Σ_cE(Y_x|x, c) P(c) *Conditional exchangeability
• = Σ_cE(Y|x, c) P(c) *Consistency

となります。ここまで持ち込めれば、potential outcome がempirical analogueになりました。これは因果推論（Causal Inference）の基本中の基本です。

例えば、Total Effectをg-formulaで記載すると、

• Total Effect
• = E(Y_x) – E(Y_x*)
• = Σ_cE(Y|x, c) P(c) – = Σ_cE(Y|x*, c) P(c)

となります。

これがg-formulaにおけるmarginal causal effectです。

さらに、ここからmediator (M)を使用して、Y_x= Y_xMxにします。

• E(Y_x)
• = Σ_cE(Y|x, c) P(c)
• = Σ_mΣ_cE(Y, m|x, c) P(c) *Law of probability
• = Σ_mΣ_cE(Y|x, m, c)P(m|x, c) P(c) *Law of probability
• = E(Y_xMx)

となります。

ここから、

• E(Y_xMx) = Σ_mΣ_cE(Y|x, m, c)P(m|x, c) P(c)

となりますが、赤色で記した箇所がYとXの直接の関係、青色で記した箇所がXがMを介しYに与える箇所と言えます。

つまり、

• Y model = E(Y|x, m, c)
• M model = P(m|x, c)

の２つがΣ(summation)を介して繋がっているとも言えます。

 

４つのnested counterfactualとg-formulaについて

ここで４つのnested counterfactualとg-formulaを整理してみましょう。

４つのnested counterfectualは、Y_xMxとY_xMx*とY_x*MxとY_x*Mx*でした。これをempirical analogueに変更すると、以下のようになります。

• E(Y_xMx) = Σ_mΣ_cE(Y|x, m, c)P(m|x, c) P(c)
• E(Y_xMx*) = Σ_mΣ_cE(Y|x, m, c)P(m|x*, c) P(c)
• E(Y_x*Mx) = Σ_mΣ_cE(Y|x*, m, c)P(m|x, c) P(c)
• E(Y_x*Mx*) = Σ_mΣ_cE(Y|x*, m, c)P(m|x*, c) P(c)

となります。

Pure Natural Indirect Effectの場合

Pure Natural Indirect Effectの場合、

• E(Y_x*Mx) －E(Y_x*Mx*)

で記すことができます。

この場合、g-formulaを使うと、

• E(Y_x*Mx) －E(Y_x*Mx*)
• = Σ_mΣ_cE(Y|x*, m, c)P(m|x, c) P(c) – Σ_mΣ_cE(Y|x*, m, c)P(m|x*, c) P(c)

となります。

Total Natural Indirect effectの場合

Total Natural Indirect Effectの場合、

• E(Y_xMx) －E(Y_xMx*)

で記すことができます。

この場合、g-formulaを使うと、

• E(Y_xMx) －E(Y_xMx*)
• = Σ_mΣ_cE(Y|x, m, c)P(m|x, c) P(c) – Σ_mΣ_cE(Y|x, m, c)P(m|x*, c) P(c)

となります。

Pure Natural Direct EffectやTotal Direct Effectの場合

こちらも同様でして、Pure Natural Direct Effectは

• E(Y_xMx*) －E(Y_x*Mx*)
• = Σ_mΣ_cE(Y|x, m, c)P(m|x*, c) P(c) – Σ_mΣ_cE(Y|x*, m, c)P(m|x*, c) P(c)

Total Natural Direct Effectは

• E(Y_xMx) －E(Y_x*Mx)
• = Σ_mΣ_cE(Y|x, m, c)P(m|x, c) P(c) – Σ_mΣ_cE(Y|x*, m, c)P(m|x, c) P(c)

となります。

Regression based approachの場合

次にregressionを使用した場合をみてみましょう。

Regressionはg-formulaと異なりmarginal effectは見れません。このため、conditional effectを推定することになります。

例えば、Cがbackdoor-pathを閉じるのに十分であれば、E(Yx|c)は

• E(Y_x|c)
• = E(Y_x|x, c) *conditional independence
• = E(Y|x, c) *consistency
• = Σ_mE(Y, m|x, c) *Law of probability
• = Σ_mE(Y|x, m, c)P(m|x, c) *Law of probability
• = E(Y_xMx|c)

となります。

g-formulaとregressionでは異なるフレームワークであるのが理解いただけると思います。

例えば、Y-modelとM-modelを

• P(M|x, c) = β₀+β_xx + β_cc
• E(Y|x, m, c) = θ₀+θ_xx+θ_mm + θ_xmxm+θ_cc

と定義すると、

E(Y_xMx|c)は以下のようになります。

E(Y_xMx|c)
=  Σ_mE(Y|x, m, c)P(m|x, c)
= θ₀+θ_xx+θ_m(P(M|x, c) )+ θ_xmx(P(M|x, c))+ θ_cc

一方で、E(Y_xMx*|c)は、

E(Y_xMx*|c)
=  Σ_mE(Y|x, m, c)P(m|x*, c)
= θ₀+θ_xx+θ_m(P(M|x*, c) )+ θ_xmx(P(M|x*, c))+ θ_cc

となります。

このため、TNIEは、

E(Y_xMx|c) – E(Y_xMx*|c)
= θ_m(P(M|x, c) – P(M|x*, c)) + θ_xmx(P(M|x, c)– P(M|x*, c))
=(θ_m+ θ_xmx)(P(M|x, c) – P(M|x*, c))
= (θ_m+ θ_xmx)β_x(x – x*)

となります。

今回はこれまでに解説してきたCausal Mediation Analysisを、g-formulaやregressionで求める方法を解説してきました。

実際に統計ソフトを使用した解析方法については、またの機会にお伝えできればと思います。

次回はmediatorが２つある場合のcausal mediation analysisについて解説しようと思います。

おすすめ書籍↓↓